‫תגובות לפוסט: "פרדוקס ראסל והגדרת המספר"‬

‫מאת: פרדוקס המעטפות « לא מדויק‬

‫פרדוקס המעטפות « לא מדויק‬ — Mon, 04 Jan 2010 19:33:43 +0000

[...] הם נראים לי כמו המחשה לבלבול שנובע מהגדרות גרועות. גם הפרדוקס של ראסל לא מטריד אותי במיוחד, כי ברור לי שתורת הקבוצות הנאיבית [...]

‫מאת: לא מדויק » ארכיון » פרדוקס המעטפות‬

‫לא מדויק » ארכיון » פרדוקס המעטפות‬ — Fri, 25 Jul 2008 14:28:28 +0000

‫מאת: nimrod‬

‫nimrod‬ — Wed, 16 Jul 2008 19:12:13 +0000

הוא שאמרתי, אלעד – לכם בוודאי יש שימוש בתורת הקבוצות הנאיבית. עבורי, היא קוץ בישבן, או עצם בגרון.

‫מאת: אלעד-וו‬

‫אלעד-וו‬ — Wed, 16 Jul 2008 19:09:29 +0000

מצחיק שגדי ניצח אותי בבערך חצי שעה. לא שמתי לב לזה כשכתבתי את התגובה שלי. אל הבלוג של גדי התוודעתי אחרי שראיתי את הלינק אצלך, וקראתי אחורה עד עמוד 5 בערך. מאד מאד מעניין.

לא טרחתי עם ההטמל כי מפחיד אותי הטמל בשילוב עם עברית (ואת זה אומר אדם שתכנת אתר בגיאוסיטיז חמוש רק בעורך טקסט, בשנת 96 לערך), אבל אני אשתדל להבא.

נמרוד, בנושא ZFC לעומד תורת הקבוצות הנאיבית, כתבת: "כשיש לי [...] שתי שיטות, שתכונותיהן דומות, והאחת סתירתית בעוד השניה נכונה, אני אעדיף את הנכונה."

הממ, עוד לא ראיתי פיזיקאי מחשב מהירות של גוף שמחליק על גבעה בעזרת מכניקת הקוונטים, או לחילופין בעזרת תורת היחסות. למען האמת, אני לא בטוח שראיתי פיזיקאי מחשב איזשהי אינטראקציה בין יותר משניים-שלושה חלקיקים בעזרת מכניקת הקוונטים.

כלומר, עם כל הכבוד לפרדוקסים כאלה ואחרים, כשאני מגדיר גרף כקבוצת קודקודים ועוד קבוצה של זוגות של קודקודים, אם סטודנט יעיר לי על הפרדוקס של ראסל הוא יחטוף מכות.

הצורה שדברים נראים מהצד שלכם אינה הצורה שהם נראים מהצד שלנו: אנחנו אשכרה צריכים לעבוד עם הדברים האלה, וכל עוד אני צריך להגדיר אובייקטים סבירים, פרדוקס ראסל לא מעניין אותי בכלל. הרי אנחנו לא באמת יכולים לעבוד עם ZFC. ברור שנעבוד עם תורת הקבוצות הנאיבית, כי כל בחירה אחרת תהיה טרחנית וטיפשית, כמו פיזיקאי שמתחשב באפקטים יחסותיים כשהוא מחשב את הזמן שיקח לו להגיע לחתונה שהוא מאחר אליה.

‫מאת: nimrod‬

‫nimrod‬ — Mon, 14 Jul 2008 20:58:47 +0000

אלעד וגדי (ברוך הבא) – ציפיתי להערה הזו. בהחלט, תורת הקבוצות הנאיבית היא שמישה ביותר עבור אנשים שבאים מהמקצוע שלכם – מתמטיקאים וכאלה דברים מפוהקים :)
בתחום שלי, לעומת זאת – הלוגיקה בקונטקסט הפילוסופי שלה – תורת הקבוצות הנאיבית היא עצם בגרון. היא עצם בגרון בגלל החומרה שהלוגיקה דורשת. כשהיא בסביבה, כל שפת תחשיב הפרדיקטים – אולי הצורה הכי "טבעית" להצרנה של טענות מילוליות, וחוץ מזה השפה הלוגית האהובה עליי – יושבת על "באג", וזה, אם לנקוט בלשונו של ג'רי סיינפלד, קניידעלך די גדול.
נתנו לי פעם לבחור שלושה אנשים מתים שהייתי שמח לשבת אתם לקפה. הבחירה שלי הייתה, בסדר הזה, משה רבנו, אריסטו ופרגה. פרגה, כי אני לא מצליח להבין מדוע הוא זנח את כתיבת הכרך השני של יסודות האריתמטיקה – לפרדוקס ראסל ממילא לא הייתה שום נגיעה למקום בו פרגה הניח את עטו – כשגילה את הפגם בשיטה. אני מניח, והלוואי והייתה לי דרך לאשש את הטענה הזו, שפרגה חשב כפילוסוף אנליטי ולא כמתמטיקאי בשעה שהניח את עטו. הפילוסופיה האנליטית, אז באמצע מלחמה בעולם ההגליאני והפנומנולוגי של הפילוסופיה הקונטיננטאלית, לא הייתה יכולה להרשות לעצמה מפלה כזו בבסיס שלה.
שתי הטענות העיקריות שלכם, אם אני מבין אותן נכון, הן שתורת הקבוצות הנאיבית טובה לחלוטין כל עוד מתחמקים ממגע עם "בעיות ראסליאניות", ושהיא טובה מאוד לצורך המשגה. זה נכון, אבל זה נכון גם לגבי תורת הקבוצות האקסיומטית, והיא חפה מה"באג". כשיש לי – ואני מזכיר שאני מדבר כאן בכובע הפילוסוף ולא בכובע המתמטיקאי, מהטעם הפשוט שאין לי כובע כזה – שתי שיטות, שתכונותיהן דומות, והאחת סתירתית בעוד השניה נכונה, אני אעדיף את הנכונה. אם הייתי מוסיף, בסוף המשפט שהפריע לכם, את שתי המילים "בהקשר הזה", זה היה בוודאי מפחית את ההתנגדות, אלא שבשעת כתיבת הפוסט המשמעות המתמטית של תורת הקבוצות הנאיבית פשוט לא הייתה אצלי בתודעה. חטא, אני יודע, אבל חטא קטן, לפחות בעיניי. בכל אופן, אני באמת ובתמים שמח ששני המתמטיקאים שקוראים כאן (אלעד, אני לא יודע אם אתה מכיר את הבלוג של גדי, אבל נראה לי שהוא יכול להיות לך מאוד מעניין) תיקנו אותי בנושא הזה, ומקבל בהכנעה את התיקון. ואלעד, תודה על הקישורים המאלפים. אם יורשה לי, אולי כאן המקום להדגיש שהתגובות כאן מקבלות תגי הטמל, ואפשר בהחלט לשים קישורים אלגנטיים.
גדי, לעניין הערתך השניה, ממש לא טענתי "תראו, x ניסה לעשות y ולא הלך לו". כתבתי שמדובר בדוגמה טובה לבעייתיות שבתורת הקבוצות הנאיבית (יש איזה ראשי תיבות מקובלים לדבר הזה?) ותו לא, וזה נעשה קודם כל כדי לתת ליניב את הבמה שמגיעה לו – אני שמח מאוד על ההשתתפות הפעילה שלו כאן ונהניתי מאוד מהדיון איתו בפוסט הקודם, ורציתי להפנות את שבעים וכמה קוראי הרסס ומספר דומה או גדול ממנו של ביקורים ביום כאן לבלוג שלו – וכדי לתת לו את הקרדיט על שדחף אותי לכתוב את הפוסט הזה – אם תעיין פה קצת תראה שזה חורג מהנושאים שאני עוסק בהם ברגיל. מעבר לזה, זו באמת דוגמה טובה לחוסר השמישות הלוגי של תורת הקבוצות הנאיבית.
נכון, השיטה שהראיתי ניתנת כולה לעשייה בתורת הקבוצות הנאיבית (ובאמת, מי שהגה אותה היה אותו הפרגה, אם אינני טועה), אבל היות שהתורה הזו נטולת תוקף לוגי במובנו החמור, הבעייתיות הייתה נשארת לולא הייתה ניתנת לנו מערכת האקסיומות ZFC.
וחוץ מזה, הרבה זמן חלף מאז התדיינו ככה, אני אישית מרוצה. :)

‫מאת: אלעד-וו‬

‫אלעד-וו‬ — Mon, 14 Jul 2008 19:01:06 +0000

רגע, שכחתי את הכי טוב:
"פרדוקס בנך-טרסקי חושף פגם בסיסי מאוד עם הגיאומטריה, כזה שהופך אותה לכמעט בלתי שמישה לחלוטין"

http://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox

‫מאת: אלעד-וו‬

‫אלעד-וו‬ — Mon, 14 Jul 2008 18:49:54 +0000

המשפט שלך "פרדוקס ראסל חושף פגם בסיסי מאוד בתורת הקבוצות הנאיבית, כזה שהופך אותה לכמעט בלתי שמישה לחלוטין" נכון רק אם אתה פילוסוף של המדעים, או לוגיקאי, או דרמה-קווין מסוג אחר. כשאני משתמש בתורת הקבוצות, אני לא משתמש באקסיומות ZFC, אלא עובד עם מה שהוא בעצם תורת הקבוצות הנאיבית. כל עוד לא מסתובבים באיזורים המפוקפקים שהפרדוקסים מסתובבים בהם (יד חרוצים, בפעם האחרונה שבדקתי), אין יותר מדי ממה לחשוש. הטענה שלך שקולה לאמירה
"פרדוקס ברטרנד [ראה לינק למטה] חושף פגם בסיסי מאוד בתורת ההסתברות, כזה שהופך אותה לכמעט בלתי שמישה לחלוטין"
או
"העובדה שפונקציית דיריכלה אינה אינטגרבילית-רימן חושף פגם בסיסי מאוד עם אינטגרל דיריכלה, כזה שהופך אותו לכמעט בלתי שמיש לחלוטין"
או, האהוב עלי
"משפט גדל חושף פגם בסיסי מאוד במתימטיקה, כזה שהופך אותה לכמעט בלתי שמישה לחלוטין"
וכן הלאה וכן הלאה.
והנה רשימת פרדוקסים בוויקיפדיה:
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_paradoxes
והנה לינק לפרדוקס של ברטרנד:
http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_paradox_(probability)
והנה לינק למידע על פונקציית דיריכלה:
http://en.wikipedia.org/wiki/Nowhere_continuous_function

הלינק האחרון לא כתוב כל כך טוב, וגם לא מזכיר את העובדה שפ' דיריכלה לא אינטגרבילית. אולי כדאי שאני אוסיף את זה).

למיטיבי לכת: הפתרון לצרה עם פונקציית דיריכלה הוא אינטגרל לבג המהולל, שבו פונקציית דיריכלה ודומותיה אינטגרביליות, והאינטגרל שלהן מתנהג כמו שהוא אמור להתנהג. רק שקשה יותר לעבוד עם אינטגרל לבג בסיטואציות מסויימות, אז האינטגרל שיותר נפוץ לעבוד איתו בסיטואציות מסויימות הוא בכל זאת אינטגרל רימן.

‫מאת: גדי אלכסנדרוביץ'‬

‫גדי אלכסנדרוביץ'‬ — Mon, 14 Jul 2008 18:27:31 +0000

טוב, ניטפוקים אין לי ממש אבל יש לי השגות חמורות למדי על הפסקה הבאה:

"פרדוקס ראסל חושף פגם בסיסי מאוד בתורת הקבוצות הנאיבית, כזה שהופך אותה לכמעט בלתי שמישה לחלוטין. יניב מדגים את זה באופן יוצא מהכלל בדיון שנערך בפוסט הקודם בנושא, שם יניב מנסה להגדיר את "2" באמצעות תורת הקבוצות הנאיבית, כשהוא טוען ש"2" הוא קבוצת כל הקבוצות שמכילות 2 אברים שונים."

הבעיה כאן היא שתורת הקבוצות הנאיבית, חד משמעית, היא כנראה הענף המתמטי השמיש ביותר שקיים. כמעט כל ספר מתמטיקה בסיסי (כזה שעוד טורח לספק מבוא שמתאר את המושגים המתמטיים שבהם משתמשים) יכיל מבוא שעוסק בתורת הקבוצות הנאיבית – וזאת בדיוק מכיוון שהיא כל כך הכרחית לכל תחום אחר. ואין הכוונה רק לדברים אלמנטריים לגמרי כמו איחודים, חיתוכים וכדומה; גם חשבון עוצמות וסודרים עשוי להיות רלוונטי במקומות רבים (דוגמאות מיידיות הן טופולוגיה קבוצתית ומידת לבג).

את תורת הקבוצות האקסיומטית, על אף חשיבותה, הספרים הללו לא טורחים לפרט, פשוט כי אין בכך צורך; כל עוד לא משתמשים בתורת הקבוצות במושגים מטורללים כמו קבוצת כל הקבוצות (או קבוצות ענק אחרות) לא נקלעים לבעיות (ולמעשה, לא חורגים מהתחום שתורת הקבוצות האקסיומטית "מוכיחה" את תקינותו).

האנלוגיה המתבקשת ביותר היא לתורת היחסות אל מול המכניקה הניוטונית. למרות שתורת היחסות מראה שהמכניקה הניוטונית פשוט שגויה, היא עדיין לא הופכת אותה ל"כמעט בלתי שמישה לחלוטין"; היא פשוט מראה כיצד צריך לטפל במקרי הקצה (שיכולים להיות מאוד חשובים בנסיבות מסויימות) שבהם המכניקה הניוטונית שוגה.

עוד דבר קצת בעייתי בציטוט הוא שאתה אומר, בשורה התחתונה "תראו כמה תורת הקבוצות הנאיבית בעייתית – X ניסה לעשות Y באמצעותה ולא הלך לו". מה הבעיה כאן? שאחר כך אתה מציג דרך פשוטה בהרבה לעשות את Y, שניתנת כולה לביצוע גם בתורת הקבוצות הנאיבית (וזה אכן מה שמלמדים כבר בתורת הקבוצות הנאיבית). באופן כללי נסיונות להראות שמשהו הוא קשה (או בלתי שמיש) על ידי הצגת נסיון כושל של מישהו (שאולי פשוט מסבך שלא לצורך) הם לא דברים משכנעים במיוחד לטעמי.

‫מאת: nimrod‬

‫nimrod‬ — Mon, 14 Jul 2008 14:04:06 +0000

לא "כל רשומה", אבל יש כאן רצף לא רע. הרשומה הבאה בטוח לא. :)

‫מאת: שלא לומר‬

‫שלא לומר‬ — Mon, 14 Jul 2008 13:53:30 +0000

מוצא חן בעיני שכל רשומה אצלך צומחת מהתגובות לרשומה שקדמה לה.