ונתנה תוקף

בתגובות לפוסט הקודם, אלעד טען כנגד איימי שהטיעונים שלה אינם תקפים. אחרי שתיקנתי אותו, נזכרתי שבעצם פעם, בראשית ימיה של הבלוגיקה בבלוגלי, רציתי להעביר כאן כמה מושגי יסוד בלוגיקה. אז הנה, ההזדמנות נפלה בחיקי סוף סוף. הפוסט הזה יעסוק בתקפות של טיעונים, ובכמה מושגי יסוד – וקצת בפילוסופיה של הלוגיקה.

טענה או טיעון?

אחת הטעויות הנפוצות בשפה המדוברת היא הבלבול בין טענה וטיעון. טענה היא הצהרה כלשהי. ההצהרה הזו יכולה להיות אמיתית או שקרית, או בשפה מעט יותר לוגית, היא יכולה לקבל ערך-אמת מסוים. ערך-אמת הוא הערך הבוליאני של ההצהרה, אמתית או שקרית, true or false.

אחת האקסיומות של הלוגיקה, המפורסמת בשם "השלישי הנמנע", קובעת שטענה יכולה לקבל ערך-אמת אחד בכל רגע נתון; כלומר, שטענה יכולה להיות או אמתית או שקרית, אבל לא שניהם ולא שום דבר אחר בכל רגע נתון. למשל, ההצהרה "יורד עכשיו גשם בירושלים" יכולה להיות אמיתית בינואר ושקרית באוגוסט, אבל היא לא יכולה להיות, באותו רגע ממש, גם וגם והיא גם לא יכולה להיות שום דבר אחר. כלומר, כשעוסקים בטענות, עוסקים בלוגיקה בינארית: כן או לא. יש או אין. 0 או 1, לאנשי המחשבים בינינו. קיים או לא קיים.

טיעון, לעומת זאת, הוא שורה של טענות, שבנוי כך שאחת הטענות היא מסקנה והאחרות הן הנחות המוליכות לה. למשל, טיעון יכול להיות:

מהאמור לעיל, ברור שטענה אינה יכולה להיות טיעון: היא יחידה בודדת. לפעמים, אנחנו מרגישים שמספיק לנו לטעון טענה כדי שהטיעון יהיה ברור. למשל, אם נניח שדני הוא נהג חדש ואביו מפחד שינהג בגשם, ודני רוצה לנהוג לירושלים, אבא של דני יכול לומר לו: "אבל דני, יורד גשם בירושלים". הוא מסתמך על כך שדני ישלים את שאר הטיעון לבד, מתוך הכרתו את העולם. טיעון כזה, שחסרה בו טענה אחת או יותר – ויהיו הטענות החסרות המסקנה או ההנחה – הוא טיעון שמסתמך על הנחות סמויות. הנה חידה לקוראים: בדוגמת הטיעון שהובאה לעיל יש הנחה סמויה אחת. מהי?

תקפות

טיעון נחשב לתקף אם מסקנתו נובעת מהנחותיו. לא אם מסקנתו אמיתית, לא אם מסקנתו שקרית, לא אם הנחותיו אמיתיות, לא אם יש לו לחץ דם גבוה, לא אם הוא נשמע לנו נכון. תקפות בודקת את השרשור הלוגי, ותו לא. זו טעות נפוצה – פופוליטיקאים עושים את זה המון – לתקוף טיעון לא נכון בטענה שהוא אינו תקף. משום מה, בשפה המדוברת תקפות הפכה מזוהה עם נכונות של טיעון. מייד אביא כמה דוגמות שיראו שאין שום קשר בין תקפות ואמיתיות, אבל לפני כן, דיון כללי על הלוגיקה, שאולי יסייע לזכור את ההבדל.

תקפות היא מושג לוגי. הלוגיקה היא פורמלית, בערך באותו מובן שהאריתמטיקה (גדי ואלעד, תקנו אותי אם אני טועה. אני אף פעם לא אתעייף מלהדגיש שאני ומתמטיקה לא הולכים יחד) היא פורמלית. כלומר, במתמטיקה a+a=2a. זה נכון, בלי קשר למה שנציב בפרמטר a. אם נציב a=4 ואם נציב a=9 ואם נציב ב-a מספר כמו שורש שתיים או פאי או כל מספר שהוא, המשפט a+a=2a יהיה נכון לגביו. מתמטיקאים, אמר לי פעם חבר שלומד מתמטיקה,^[1] כמעט ולא מתעסקים במספרים. הם מתעסקים באותיות שנותנות ייצוג לכל מספר שהוא.

באופן דומה, הלוגיקה לא מתעסקת בתכנים שיש בעולם, אלא בייצוג צורני (פורמלי) שלהם. בדיוק כשם שכשמלמדים מתמטיקה עוברים לאט לאט מ – 2+2=4 ל-a+a=2a,^[2] כך גם כשמלמדים לוגיקה עוברים לאט לאט מ"כל הדובים הם סגולים" החביב על מבחני פסיכומטרי ל-כל x הוא y, ובשפות אחרות, אם p אז q או לכל x אם x הוא P אז x הוא Q וכיו"ב, כשהאותיות מוחלפות בתופעה בעולם.

טיעון שהולך ככה:

הוא טיעון תקף. הוא לא בהכרח אמיתי: ניתן להציב כל מיני דברים במקום x, y ו-z, למשל:

הטיעון הזה אינו אמיתי (כלומר, ערך האמת של מסקנתו הוא שקרי בעולם שלנו), אבל הוא תקף. כלל האצבע הוא שתקפות הוא מושג לוגי, וככזה, הוא פורמלי – כלומר, אין לו כל נגיעה לערך האמת של הטיעון שהוא שופט.

נביעה

אז אמרנו שטיעון הוא תקף אם מסקנתו נובעת מהנחותיו. מה זה אומר? מהי הנביעה הזו? מסקנה נובעת מההנחות אם לא מתקיים מצב שההנחות אמיתיות והמסקנה שקרית.

אחת הדרכים להבין את זה בצורה קצת פחות אינטואיטיבית היא להסתכל על טיעון בתור טענת אם-אז. כלומר, אם לקחת את דוגמת הגשם, הטיעון יכול להיות מוצג כך: אם (יורד עכשיו גשם בירושלים וגם גשם מרטיב את הכבישים) אז (הכבישים בירושלים רטובים).

טענת אם-אז מתחלקת לשני חלקים: החלק שמתחיל באם ומסתיים לפני האז נקרא הרישא, והחלק שמתחיל באז נקרא הסיפא. טענת אם-אז היא אמיתית (כלומר, מקבלת ערך אמת של אמיתי) במצבים הבאים: 1. הרישא שקרית; 2. הרישא אמיתית והסיפא אמיתית. כלומר, אם הרישא שקרית, טענת אם-אז אמיתית. (למשל, המשפט "אם ילדים באים מהכרוב אז נגרים מסריחים מהפה" הוא אמיתי, לא כי ה"אז" שלו נכון, אלא כי הרישא שלו שקרית ולכן ממילא לא משנה מה בא בסיפא שלו). אם הרישא אמיתית, לעומת זאת, הטענה תהיה נכונה אם ורק אם הסיפא אמיתית.

אם הופכים טיעון לטענת אם-אז (אם ההנחות אז המסקנה), בכל פעם שהטענה אמיתית הטיעון יהיה תקף. אחת המשמעויות של זה, למשל, היא שמסתירה נובע כל דבר:

אמרנו, שטיעון הוא תקף אם לא מתקיים מצב שההנחות אמיתיות והמסקנה שקרית. היות וההנחה אף פעם לא נכונה (היא סתירה, וככזו תמיד מקבלת ערך-אמת של שקר) לא מתקיים מצב כזה, ולכן הטיעון תקף. בשיטה השניה, אם נהפוך את הטיעון לטענת אם-אז, הרישא של הטענה תמיד שקרית, ולכן הטענה תמיד אמיתית. כלומר, מסתירה נובע כל דבר.
וברגע שמבינים שסתירה הופכת כל טיעון לתקף – אגב, באופן דומה, טאוטולוגיה^[3] הופכת כמעט כל טיעון (אלא אם כן גם מסקנתו טאוטולוגיה) ללא-תקף; למה? – מבינים שבאמת אין שום קשר בין תקפות לאמיתות של טיעון.

אז איך תוקפים טיעון?

טיעון שאנחנו מבקשים להפריך אנחנו יכולים לעשות בשתי דרכים: האחת היא להפריך את תקפותו – כלומר, להראות שהמסקנה לא נובעת מההנחות. את זה עושים על ידי זה שמראים מצב שבו ההנחות אמיתיות והמסקנה שגויה. הדרך השניה היא לערער על אמיתותו של הטיעון, כלומר, על אמיתותן של ההנחות (במצב כזה, הטיעון תקף אבל לא נכון) או על אמיתותה של המסקנה. מכל מה שעברנו עליו קודם, אם אנחנו מערערים על נכונותה של המסקנה ולא על נכונותן של הטענות, אנחנו בעצם מערערים על תקפות הטיעון (כיוון שאנחנו אומרים שישנו מצב בו ההנחות נכונות והמסקנה שקרית), כך שנותרו לנו בעצם שתי דרכים: ערעור על הההנחות וערעור על התוקף. נניח, למשל, שאנחנו רוצים להפריך את הטיעון הבא:

את הטיעון הזה ניתן לתקוף בשתי הדרכים גם יחד. ראשית, הוא לא תקף. נניח שיש לנו חמש נשים, שבעה גברים ומטבח אחד. כל הנשים דעתן קלה, ובמטבח נמצאות שתי נשים. שתי ההנחות אמיתיות. כלומר, במטבח ישנו רק מי שדעתו קלה (שתי נשים, בדוגמה שלנו), וכל הנשים דעתן קלה. עם זאת, יש שלוש נשים שאינן במטבח, כך שהמסקנה היא שקרית. נמצאנו, שהטיעון אינו תקף, מפני שיש מצב שבו כל ההנחות נכונות והמסקנה שקרית. הטעות כאן היא בהנחה השניה – אם הטענה הייתה "כל מי שדעתו קלה מקומו במטבח", הטיעון היה תקף.

ניתן גם לתקוף את אמיתותן של ההנחות. ההנחה הראשונה היא פסוק "כל". כדי לסתור אותו, צריך להביא דוגמה נגדית. למשל: קחו כדוגמה את יעל אשת חבר הקיני, שהשקתה את סיסרא בחלב והרגה אותו – דעתה אינה קלה.
ההנחה השניה ניתנת לסתירה בנקל: אין כמעט אדם בישראל שמעודו לא היה במטבח, ואלא אם כן רוצה הטוען לטעון שכל הישראלים הם בעלי דעה קלה, הרי שנמצאנו שההנחה הזו שקרית, ומכאן שהטיעון כולו אינו נכון.

נדמה לי, שהבלבול בין תקפות ונכונות בשפת הדיבור הוא חלק מתופעה רחבה הנוגעת לתרבות הדיון בישראל. היות ואנחנו לא יודעים כיצד להפריך טיעונים באופן לוגי, השיח הולך ותופס כיוונים של אקסיומות של כל צד בדיון, הנחות יסוד שנתפשות כנכונות גם אם הן אינן וכיו"ב. אולי אם נחזיר את יכולת הניתוח הלוגית לשיח, נוכל באמת לנהל עימותים אינטליגנטיים ולא לשאול את עצמנו מי מצטלם יותר טוב בטלוויזיה.

1. יש לי כאלה, אבל אני מחביא אותם. בכל זאת, יש לי מוניטין לשמור עליו [↩]
2. על אף שבפועל הכיוון הוא הפוך [↩]
3. טענה שתמיד מקבלת ערך אמת, כמו: כל דבר בעולם הוא או חציל או לא חציל [↩]